Az írás célja egy elemzési módszer bemutatása, amivel a kisebbségi problémák bizonyos aspektusai könnyen elemezhetôk és megérthetôk. A módszer a játékelmélet és az elméleti gazdaságtan fogalmait és eszközeit használja a probléma elemzéséhez.

A szövegben a többség-kisebbség viszonyt egy olyan környezetben vizsgáljuk, ahol a többség a politikailag domináns csoport, másrészt pedig gazdaságilag összefonódott a többségi és kisebbségi közösség. Ezek a feltételezések másképpen fogalmazva azt jelentik, hogy az állam politikai döntései elsôsorban a többség akaratának, igényeinek megfelelôen alakulnak, másrészt pedig, hogy a két közösséghez tartozó egyének között szoros és sok gazdasági kapcsolat létezik, valamint ezek a gazdasági kapcsolatok nincsenek formális közösségek közötti szabályoknak alávetve (nincsenek olyanszerûen szabályozva, mint két különbözô állam állampolgárai közötti gazdasági kapcsolatok). Feltételezzük továbbá azt is, hogy az egyik fél kívánja a két közösség asszimilálódását, míg a másik közösség nem kívánja ezt.

A többség-kisebbség viszonyokat a továbbiakban aszerint különböztetjük meg, hogy melyik fél favorizálja az asszimilációt.

Nevezzük A. osztályú viszonynak azt, amelyikben a kisebbség kíván asszimilálódni és a többség nem kívánja asszimilálni a kisebbséget. Ilyen viszonyra példa a román-roma, magyar-roma vagy a fehér amerikai-fekete amerikai (az 50-es évekig) viszony. Az ilyen viszony egyik fontos meghatározó jellemzôje, hogy létezik-e objektív diszkriminációs szempont (pl. bôrszín), ami alapján megkülönböztethetôk a közösségek tagjai. Az inkább szubjektív alapú diszkrimináció (pl. a kisebbségi csoport viselkedési szokásainak, kultúrájának az elfogadhatatlansága, a többségiek számára - úgy gondolják, hogy az alacsonyabb rendû) sokkal jobban zavarja a kisebbségieket, mint az objektív különbözôség.

Nevezzük B. osztályú viszonynak azt, amikor a többségi csoport kívánja asszimilálni a kisebbséget, és a kisebbségiek utasítják el az asszimilációt. Ilyen viszonyra példa a román-magyar viszony. Az ilyen viszony esetében a kisebbségiek kedvelik a diszkriminációt (nyilván a legalább szubjektíven pozitív diszkriminációt), mivel úgy gondolják, hogy ôk kiválóbbak, felsôrendûbbek, mint a többségiek. Ebben az esetben, rövid távon, akár az objektíven negatív diszkrimináció is értelmezhetô pozitívan kisebbségi szempontból, mivel ez is azt igazolja számukra, hogy a többségiek el kell nyomják ôket primitív, durva eszközeikkel, különben alulmaradnának kulturálisan.

A játékelméleti megközelítést egy leegyszerûsített viselkedési modellre alkalmazzuk. A modellekben mindkét partnernek kétféle viselkedését tekintjük. Az asszimilációt elutasító partner viselkedési lehetôségei legyenek az Elutasítás (E) és az Asszimilál(ód)ás (A). Az asszimilálódni akaró kisebbségi partner viselkedései legyenek a többségi elvárásoknak Nem megfelelô viselkedés (N) és az elvárásoknak Megfelelô viselkedés (M). Az asszimilálni akaró többségi partner esetében a viselkedési lehetôségek legyenek a Kisebbségellenes törvénykezés (K) és kisebbséget Pártoló törvénykezés (P). A modellekben a kifizetési mátrix értékeinek választását a szemléltetési szempontok vezérelték.

A. típusú viszony:

A kifizetési mátrix értékeinek jelentése, a konkrét értéküktôl elvonatkoztatva a következô:

A fenti játéknak két Nash-egyensúlyi állapota van, ezek az N,E, illetve az M,A állapotok. Ha feltételezzük, hogy a partnerek nem tudják, hogy milyen a másik partner viselkedése, a választás az N,E helyzet lesz. A választások módosulhatnak, ha az egyik fél igyekszik a másikat meggyôzni hosszabb idôn keresztül, hogy számára kedvezôbben viselkedik. Így, a választás elmozdulhat az M,A helyzetbe, viszont az idô teltével, ha nincs kedvezô válasz a kezdeményezésre, nô az esélye a kedvezô viselkedés megváltoztatásának. Ez a folyamat a kifizetési mátrix változásával mutatható meg. A folyamatos, többségiek számára kedvezôtlen politika csökkenti a többségiek kifizetéseit befogadó viselkedés esetén. Mivel ez a csökkenés nagyon rövid távon is bekövetkezhet, a kisebbségiek számára jónak tûnhet a helyzet kihasználása addig, amíg lehet, mivel bármikor megváltozhat a többségi politika. A módosult játék a következô táblázattal ábrázolható:

Ebben a játékban a többségiek domináns stratégiája az elutasítás lesz, a játék egyensúlyi állapota pedig az N,E helyzet.

B. típusú viszony:

A játék domináns stratégiája az E, K helyzet, ami az asszimiláció merev elutasítását és a kisebbségellenes többségi politikát jelenti. Ahhoz, hogy a partnerek stratégiája eltolódjon az A,P helyzetbe, a játék kifizetési mátrixának megváltoztatása szükséges, megfelelô politikával.

Egy egyszerûsített valódi példát mutatunk be, majd megvizsgáljuk, hogy mennyire alkalmazható a módszer más esetekben.

A példa az 50-es évek amerikai iskolapolitikai reformja, amikor a szövetségi kormány ahhoz a feltételhez kötötte a szövetségi iskolai támogatásokat, hogy az iskolák fekete és fehér gyerekeket is iskolázzanak be. Az az iskola, amelyik csak fehér gyerekeket oktatott, nem kapott támogatást, és a fekete gyerekek arányának növekedésével együtt nôtt az iskola által kapott támogatás.

Az oktatáspolitika módosítása azt jelentette, hogy ha az iskola elutasítóan viselkedett, nem kapott támogatást, és csak a szubjektív hasznával maradt, ami abban állt, hogy megôrizte tisztaságát és csak fehér gyerekeket oktatott. Abban az esetben pedig, ha az iskola befogadóan viselkedett, az iskola és a fekete gyerekek is többet nyertek, mint korábban. Az új játék mátrixa a következô lett:

Ebben az esetben a játék domináns stratégiája az M,A helyzet. Tehát sikerült a jó politika választásával úgy módosítani a kifizetési mátrixot, hogy a mindkét fél számára legkedvezôbb választást tette elérhetôvé, a bizalmatlanságoktól és ellenérzésektôl függetlenül.

Természetesen az iskolák figyelembe vették a korábbi szokásokat is, és csak az éppen szükséges számú fekete gyereket vették fel (egyébként a fehér gyerekek közül túl sokan mentek volna fehérebb iskolákba, és az iskola bevétele végül csökkent volna). Hosszú távon viszont a változás a szokásokat is megváltoztatta és szélesebb körben elfogadhatóvá tette, hogy a fekete és fehér gyerekek együtt tanuljanak. Ez a másodlagos, hosszútávú hatás még inkább megnöveli az M,A stratégia választásának kedvezôségét.

Ha egy hasonló hatású politikát megvizsgálunk egy B. típusú viszony esetében, más eredményre jutunk. A kifizetési mátrix ebben az esetben a következôképpen alakulna:

A kisebbségellenes viselkedést szankcionálja az új politika, ami a K oszlop többségi kifizetéseinek csökkenésével jelezhetô, továbbá ebben az esetben a kisebbségiek sem élvezik a kedvezô politika hatásait, így az kifizetéseik változatlanok maradnak ebben az oszlopban. A kisebbséget pártoló viselkedés jutalmazása által a P oszlop kifizetései mindkét partner számára megnövekednek.

A politika eredménye a kisebbségpártolás többségi domináns stratégiává alakulása és az egyensúlyi helyzet eltolódása az E, P állapotba. Ez a változás viszont hosszú távon nem tartható fenn, mivel a szubjektív többségi veszteségek értéke megnô, ami a többségi politika megváltoztatását fogja, eredményezni, mert azt elsôsorban a többségiek politikai akarata határozza meg. Abban az esetben, ha ez nem kerül sorra, mert például egy külsô erô kényszeríti a politika megtartását, a szubjektív veszteségek értékének növekedése és a kisebbségellenesség szubjektív értékének növekedése megváltoztatja a kifizetési mátrixot, melynek új értékei a következôk lesznek:

Az új játék egyensúlyi állapota visszatér az E, K pontba, vagyis a kisebbségellenes magatartás és az asszimiláció merev elutasításának egyensúlyába.

Ahhoz, hogy a példában bemutatott politikához hasonló politika eredményes legyen, szükséges olyan kiegészítô politika is, ami vonzóvá teszi a kisebbségiek számára a merev elszigetelôdés feladását.

Ha a példában bemutatott politikát egy olyan A. típusú helyzetre alkalmazzuk, ahol nincs objektív diszkrimináló tényezô, vagy csak kismértékben van, a diszkriminatív támogatási kritérium negatívan befolyásolja a kisebbségiek kifizetésének szubjektív értékelését. Ebben az esetben a kifizetési mátrix a következô lesz:

A játékban a kisebbségiek domináns stratégiája a nem adaptálódó viselkedés lesz, a játék egyensúlya pedig az N, A helyzetbe tolódik. Ennek az eredménye hosszútávon azonos a B. típusú helyzet esetével.

Annak feltétele tehát, hogy egy ilyen politika eredményes legyen egy A. típusú helyzetben, az, hogy létezzen egy objektív diszkrimináló tényezô, aminek fennállását a kisebbségiek különösebb probléma nélkül kénytelenek elfogadni.

Ebben a részben az elemzési módszert tovább bontjuk, hogy megmutassuk, hogyan lehet a kifizetési mátrix értékeit megbecsülni. Az itt használt gazdaságelméleti modell ugyancsak egyszerûsítés, de többet megmutat az elméleti modell valós hátterébôl.

A modell felépítéséhez feltételezzük, hogy az ország külföldi befektetési segélyt kap, és a befektetéseket kell az állami politikának elosztania a kisebbségiek és a többségiek által lakott települések között. Legyen a továbbiakban F a támogatás teljes összege, x₁ a többségi településeken befektetett összeg és x₂ a kisebbségi településeken befektetett összeg. Ekkor felírhatjuk a költségvetési korlát egyenletét, ami:

x₁+x₂=F.

A továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy az x₁ és x₂ milyen kombinációi vezetnek a kormány azonos népszerûségi mutatójához. Az ilyen pontok az izo-népszerûségi görbéket fogják alkotni. Ezeknek a görbéknek az alábbiakhoz hasonló alakjuk lesz:

1. ábra

Izo-népszerûségi görbék

Mint látható az ábrán, az alacsony népszerûségi szintet jelentô görbék metszik az x_l tengelyt, ami azt jelenti, hogy ilyen szintû népszerûséget el tud érni a kormány úgy is, ha egyáltalán semmit nem juttat a kisebbségieknek.

Az is látható az ábrán, hogy a legmagasabb szintû népszerûséget jelentô görbe egy félegyeneshez közelít, aminek meredeksége a többségi és kisebbségi közösség nagyságától függ (az egyes közösségek által lakott települések a közösségek nagyságával arányosan kapnak a támogatásból). Ugyanakkor az is látható, hogy ez az utóbbi elosztás csak akkor lehetséges, ha x_{1 +} x₂ = F₀, azaz, ha a befektethetô összeg eléggé nagy (a gyakorlatban nagyon ritkán történik meg ez, ezért a mi modellünkben azt feltételezzük, hogy F kisebb, mint F₀).

Az egyszerûsített modellünk szerint a kormány azt a befektetési politikát fogja választani [(x₁,x₂) páros], amelyikre teljesül az a feltétel, hogy az x₁+x₂=F egyenletû egyenes érint ebben a pontban egy izo-népszerûségi görbét, mivel így lesz a legjobb a népszerûségi mutatója a kormánynak.

Ha feltételezzük, hogy F elég kicsi (a gyakorlatban rendszerint így van), ami azt jelenti, hogy a számunkra érdekes x₁ és x₂ értékek is eléggé kicsik, az izo-népszerûségi görbéket közelíthetjük az alábbi görbékkel:

2. ábra

Izo-népszerûségi görbék közelítése kis F esetén

Legyen V(x₁,x₂) a népszerûségi mutatót megadó függvény az x₁ és x₂ változókkal. Ekkor az izo-népszerûségi görbék egyenletét a V(x₁,x₂)=k formában írhatjuk fel. Az izo-népszerûségi görbéket közelítô görbéket (2. ábra) jó közelítéssel megadhatjuk V(x₁,x₂)=a₁x₁-a₂+v(x₂) = k formában (kvázilineáris kétváltozós függvényként), ahol v(x₂) egy növekvô függvénye x₂-nek, aminek alsó korlátja a végtelenben egy pozitív szám, az értéke pedig negatív, ha x₂=0. Az a₁ és a₂ konstansok a többségieket jellemzik, értékük pozitív. Minél kisebb értékei vannak a v(x₂)-nek, annál érzékenyebbek a kisebbségiek, továbbá, minél nagyobb az a₁ konstans, annál kevésbé kisebbségpártolók a többségiek [a v(x₂)-t felírhatjuk a v(x₂)=-b₁ / (x₂+m)+b₂ formában, ahol b₁, b₂ és m pozitív konstansok].

Hogyan lehet ezt a modellt a kifizetési mátrix kiszámítására felhasználni?

A partnerek viselkedése tulajdonképpen az izo-népszerûségi görbe alakját és / vagy helyzetét módosítja. Így, ha meglátjuk azt, hogy egy bizonyos viselkedéspáros hogyan módosítja ezeket a görbéket, meg tudjuk találni az új helyzetnek megfelelô kormányzati elosztási politikát. Ezt az elôzô helyzettel összehasonlítva megkapjuk, hogy miként változott az egyes csoportokra jutó befektetési támogatás, így kiszámítható az egyes csoportok objektív vesztesége vagy nyeresége. Ebben az esetben a szubjektív vereséget vagy nyereséget az új és a korábbi izo-népszerûségi görbe népszerûségi értéke közötti különbséggel mérhetjük mindkét közösség esetében (a népszerûségi függvény hozzá tartozó komponensét figyelembe véve).

Ezt az elemzést a továbbiakban egy B. típusú viszony esetén mutatjuk be. Elôbb megoldjuk a kormány elosztási politikájának választási kérdését. Legyen a népszerûségi függvény:

V(x₁, x₂) = a₁x₁ - a₂ + b₁ / (x₂ + m) + b₂.

Ekkor az x₂ értéke az x₁ és a k népszerûségi szint függvényében:

x₂ = g(x₁) = -m + b₁ / (a₁x₁ - a₂ + b₂ - k).

Innen az érintési feltétel felírásával ki tudjuk fejezni az x₁-et (a derivált értéke -1 kell legyen, mivel az x₂ = F - x₁ deriváltja mindenhol -1):

g´(x₁) = -b₁a₁ / (a₁x₁ + b₂ - a₂ - k)² = -1

Ebbôl x₁-et, majd x₂-t meghatározva kapjuk, hogy:

x₁ = (↔a₁b₁+a₂ + k - b₂) / a₁, illetve x₂ = ↔(b₁ / a₁) - m.

Figyelembe véve a költségvetési korlát egyenletét, meg tudjuk határozni az x₁ és a k értékét a paraméterek függvényében:

A fenti eredmények alapján könnyen észrevehetô, hogy az x₁ és x₂ értékeit az a₁ és a b₁ paraméterek változása befolyásolja, valamint az is, hogy az a₂ és a b₂ paraméterek változása csak a népszerûségi szintet mutató k értékét befolyásolja.

Legyen az alábbi ábra a kisebbségellenes magatartás és az asszimiláció merev elutasítását jellemzô helyzet ábrázolása:

3. ábra

Kisebbségellenes politika / Merev asszimilációellenesség

Feltételezzük, hogy ekkor a 0 ponton van mindkét partner nyeresége.

Ha nem változik a többségi politika, viszont a kisebbségiek enyhítenek követeléseiken, ami azt jelenti, hogy kevésbé elégedetlenek a számukra kedvezôtlen bánásmóddal (a b₁ értéke csökken, b₁<b₁), az eredmény az izo-népszerûségi görbék meredekségének növekedése lesz, mivel az új v(x₂) függvény értékei kevésbé lesznek negatívak kis x₂ értékek esetén.

A következô ábra az új helyzetet mutatja:

4. ábra

Kisebbségellenes politika / Enyhe asszimilációellenesség

Az ábrából jól látható, hogy a kisebbségiek objektív veszteséget szenvednek, míg a többségiek nyernek a változásból. A kisebbségiek szubjektív vesztesége vagy nyeresége függ a v(x₂) és a v(x₂) függvénytôl, míg a többségiek szubjektíven is biztosan nyernek. Az új állapot szintje nagyobb lesz, mint a korábbi állapoté volt.

Ha a többségiek politikája változik kisebbségtámogató politikává, anélkül hogy a kisebbségiek merev asszimilációellenessége változna, az új a₁ konstans értéke kisebb, mint a korábbi a₁ értéke.

Az új helyzetet a következô ábra mutatja be:

5. ábra

Kisebbségpártoló politika / Merev asszimilációellenesség

Jól látható, hogy a kisebbségiek nyernek a változásból, míg a többségiek veszítenek. A változás szubjektív veszteséget jelent a többségiek számára, és nyereséget jelent a kisebbségiek számára. Az új helyzet népszerûségi szintje a népszerûségi függvény paramétereitôl függ.

Ha mindkét fél pozitívan változtatja viselkedését, a modell nyelvezetére lefordítva azt kapjuk, hogy v(x₂) < v(x₂) és a₁ < a₁.

Az új helyzetet a következô ábra mutatja:

6. ábra

Kisebbségpártoló politika / Enyhe asszimilációellenesség

Az új helyzetben a két fél objektív nyeresége vagy vesztesége a népszerûségi függvény paramétereitôl függ. A kisebbségi partner szubjektív nyeresége a paraméterektôl függ, viszont, mivel az új elosztási értékek a régiekhez közel esnek, eléggé biztos az, hogy a kisebbségiek szubjektíven nyernek. A többségiek esetében a helyzet nem ilyen egyértelmû. Az ô részleges népszerûségi függvényük minden x₁-re kisebb értéket fog adni, mint korábban, amit felfoghatunk mint a szubjektív veszteség jelét, vagy mint az elosztás csökkenô jelentôségét a kormány többségi népszerûségének a meghatározásában. Továbbmenve, ha az új helyzet a támogatást biztosító szemében stabilabbnak tekintôdik, nôni fog az F paraméter értéke, ami mindkét fél számára objektív és szubjektív nyereséget jelent.

A következô kérdés az, hogyan lehet olyan politikát kialakítani, ami mindkét fél számára kedvezôbb helyzethez vezet vagy a kifizetési mátrixot kedvezôen módosítja, úgy, hogy a domináns stratégia a mindkét fél számára kedvez megoldás lesz.

A politikák lehetôségei a modell keretei között abban állnak, hogy módosíthatják az izo-népszerûségi görbék alakját vagy helyzetét, illetve módosíthatják a lehetôségek korlátait megszabó költségvetési görbét.

Mivel a többségi kormánynak kis közvetlen befolyása van a kisebbségiek viselkedésére, a modell keretei között az a₁ és a₂ konstans értékének módosításával változtathatja az izo-népszerûségi görbéket, ami - mint láttuk - megfelelô kisebbségi hozzáállás nélkül nem vezet nagyobb népszerûséghez. Márpedig a kormánynak elsôsorban ez a szempontja.

A további lehetôség a költségvetési görbe módosítása. Ilyen értelmû politika könnyen lehet az eredménye a támogatást nyújtó külsô tényezô feltételeinek.

7. ábra

A költségvetési görbe módosítása százalékos küszöbbel

8. ábra

A költségvetési görbe módosítása minimumösszeg küszöbbel

Amint látjuk, a feltétel azt jelenti mindkét esetben, hogy nem vesz-szük figyelembe a költségvetési görbe egy darabját. Az eredmény az, hogy ha a korlátozás nélküli elosztás kedvezôtlenebb lenne a kisebbségiek számára (egyébként értelmetlen lenne a kikötés, mivel ugyanahhoz az eredményhez vezetne az új helyzet is), mint a meghatározott százalékos küszöbnek megfelelô elosztás, akkor az új elosztás szerint éppen a megkívánt minimális rész jut a kisebbségieknek (egy sarokmegoldás lesz). Ugyanakkor az is egyértelmûen látszik, hogy az új izo-népszerûségi görbéhez kisebb népszerûség tartozik, mint ahhoz, amelyik akkor érvényesülne, ha nem lenne megszorítás.

A megszorítás továbbá rontja a kifizetési mátrix szerkezetét is. A lehetséges változások (mivel általában nem túl nagy értékûek) nem módosítják az elosztási értékeket, a megoldás továbbra is a sarokmegoldás marad. Így a hatások csak a szubjektív hatások maradnak, objektív kompenzálás nélkül.

A rövidtávú hatás, amit a megoldás eredményez, a kisebbségiek jobb helyzetbe kerülése lesz, viszont kicsit hosszabb távon a politikai stabilitás csökkenéséhez, a kormány megbukásához vagy a segélyrôl való formális vagy de facto (pl. a segélyezési feltételek gyakorlati nem teljesítése) lemondáshoz vezet. Mindkét hosszabb távú hatás a továbbiakban kedvezôtlenebb mindkét közösségre nézve.

x₁ + x₂ = F - tx₁ / x₂, ahol t a penalizációs konstans.

Ebben az esetben, ha kifejezzük az x₁-et az x₂ függvényében, a következôt kapjuk:

x₁ = h(x₂) = - x₂ + F - t[(F + t) / (x₂ + t) - 1].

Továbbá, kiszámítva az elsô- és másodrendû deriváltjait a h(x₂) függvénynek, kapjuk, hogy:

h´(x₂) = - 1 + t(F + t) / (x₂ + t)², illetve

h´´(x₂) = - 2t(F + t) / (x₂ + t)³.

A fenti eredmények alapján megállapíthatjuk, hogy a h(x₂) függvény konkáv és van egy maximumpontja a (0,F) intervallumban. A helyzetet a következô ábra mutatja:

9. ábra

A költségvetési görbe módosítása penalizációval.

Az ábra alapján láthatjuk, hogy az eredmény jóval kedvezôbb a kisebbségiek számára, mint a módosítás nélküli esetben. Azt is észrevehetjük, hogy az így elért népszerûségi szint alacsonyabb, mint a módosítás nélküli esetben.

Ha egy ilyen politikát hosszabb ideig sikerül fenntartani, lehetséges, hogy másodlagos hatásként módosul az izo-népszerûségi görbék alakja, ami a kifizetési mátrix módosítását jelenti. Ugyanakkor az is lehetséges, hogy a büntetés létezése kedvezôtlen hatásokkal jár, ami a rossz irányba vezetheti a változás folyamatait.

Végül azt az esetet elemezzük, amikor a támogatás biztosítója jutalmazza a kisebbségiek számára kedvezô elosztást a szétosztandó ösz-szeg növelésével. Ebben az esetben a modell költségvetési egyenlete a következô alakban írható fel:

x₁ + x₂ = F + tx₂ / x₁,

ahol t a jutalmazási vagy kompenzációs konstans.

Az elôbbi egyenletbôl az x₂-t kifejezve az x₁ függvényében, a következôt kapjuk:

x₂ = f(x₁) = -x₁ + F - t + t(F - t) / (x₁ - t),

f´(x₁) = -1 - t(F - t) / (x₁ - t)², illetve

f´´(x₁) = 2t(F - t) / (x₁ - t)³.

Az egyenletekbôl látható, hogy ha x₁ t-hez közeli értékeket vesz fel, az x₂ értékei a végtelen felé növekszenek. Ezért szükséges egy további korlátozó feltételt is bevezetnünk, amit formálisan a következôképpen írhatunk fel:

x₁ + x₂ ≤ F₁.

A helyzet a t és az F értékeinek viszonyától függôen kétféle lehet.

Ha t > F az f(x₁) = 0 egyenletnek van megoldása, az x₁ értékei ezeken a helyeken:

x₁₁ = t + 1 / ↔ t(t - F), és x₁₂ = t - 1 / ↔t(t - F).

Ebben az esetben az f´´(x₁) pozitív, ha x1 < t, vagyis ezeken az intervallumokon konvex, illetve konkáv az f grafikonja. Továbbá, ha x₁ tart az F-hez, akkor az f(x₁) grafikonja tart a -x₁ + F - t függvény grafikonjához. Azt is könnyû észrevenni, hogy ha x₁ alulról tart t-hez, az f(x1) a plusz végtelenhez tart, illetve, ha x₁ felülrôl tart t-hez, az f(x₁) a mínusz végtelenhez tart.

Ezek után megrajzolhatjuk az f grafikonját, és megvizsgálhatjuk a költségvetési görbe és az izo-népszerûségi görbék érintési pontjának helyzetét.

10. ábra

A teljes értékek arányától függôen módosított költségvetési görbe,
amikor a kompenzációs konstans nagyobb, mint az alapösszeg konstans

Az ábrán jól látható, hogy az eredmény egy sarokmegoldás, ami azonos azzal a megoldással, amit akkor kapnánk, ha a teljes F₁ összeg állna rendelkezésre minden esetben és egyszázalékos korláthoz lenne kötve a felhasználás. Következésképpen a módszer hatásai is hasonlóak a korábban bemutatott módszeréhez.

A második eset az, amikor F > t. Ebben az esetben nincs megoldása az f´(x₁) = 0 egyenletnek. A függvénygörbe konvexitása pontosan fordítva alakul, vagyis amikor x₁ < t, a függvény konkáv, és amikor t < x₁, a függvény konvex. Hasonlóan, a függvény értékei a t környezetében az elôzô esettel ellentétes irányba mozognak, vagyis, amikor az x₁ alulról tart t-hez, akkor a plusz végtelenhez tartanak a függvényértékek. A végtelenben hasonló a viselkedése a függvénynek, mint az elôzô esetben. A függvényt felrajzolva a következôt kapjuk:

11. ábra

A teljes értékek arányától függôen módosított költségvetési görbe, amikor
a kompenzációs konstans kisebb, mint az alapösszeg konstans

Minthogy F - t > 0, következik, hogy

f(x₁) < -1 bármely x₁-re.

Továbbá, mivel az izo-népszerûségi görbék meredeksége csökken az x₁ növekedésével, azt kapjuk, hogy a módosított költségvetési görbe és az érintô izo-népszerûségi görbe érintési pontja magasabban van, mint az ugyanazt a görbét érintô módosítatlan költségvetési görbe érintési pontja. Ez azt jelenti, hogy azonos népszerûségi szintet lehet elérni úgy, hogy a kisebbségieknek több befektetés jut. Ugyanakkor az is belátható az egyenletek és az ábra segítségével, hogy ha a kormány a végül szétosztásra kerülô összeget korlátozás nélkül oszthatná szét, nagyobb népszerûségre tehetne szert és ugyanakkor kedvezôtlenebb helyzetbe hozná a kisebbségi csoportot.

A bemutatott elemzési módszer túlteoretizáltnak és valóságtól elszakadtnak tûnhet. Ezzel szemben a gyakorlati mérések alapján a modellnek megfelelôen felépíthetôek a konkrét számításokhoz szükséges függvények és grafikonok. Így a módszer gyakorlati helyzetekre is alkalmazhatóvá válik.

A módszer tovább finomítható a felhasznált gazdaságelméleti háttér bôvítésével úgy, hogy az több tényezô hatását vegye figyelembe. Ebbôl a szempontból nagyon jó iránymutatók a más társadalomtudományi módszerekkel végzett részletesebb elemzések, melyek segítségével felismerhetô, hogy milyen további tényezôket kell figyelembe venni a modellben.

A módszer segítségével objektívebben elemezhetôek az egyes politikák hatásai, illetve a várható hatásai a kisebbségi viszony partnereinek egyoldalú lépései esetén.